UNIST "쌍 소용돌이 난제, 반세기 만에 수학적 입증"

(울산=뉴스1) 김세은 기자 = 국내 연구진이 '사도브스키 패치'라는 소용돌이 쌍이 이상적 유체 안에서 존재할 수 있음을 수학적으로 증명해 냈다. 이 모델 구조가 제안된 지 50여 년 만이다.

울산과학기술원(UNIST) 수학과 최규동 교수와 심영진 학생은 서울대 정인지 교수와 함께 사도브스키 패치가 오일러방정식의 해로서 존재할 수 있음을 증명했다고 2일 밝혔다.

사도브스키 패치는 서로 반대 방향으로 돌며 회전 세기가 균등한 두 소용돌이가 완전히 맞붙은 채로 움직이는 특수한 소용돌이 쌍이다. 이는 이상적인 유체로 가정돼 소용돌이 모양을 유지하며 영원히 직진할 수 있다.

1971년 러시아 수학자 사도브스키(V. S. Sadovskii)가 수치 시뮬레이션을 통해 이 모델을 처음 제안했지만, 이 패치의 존재를 수학적으로 증명하는 것은 쉽지 않을 것이라고 논문에서 언급했다.

수학적으로 존재를 증명하는 가장 확실한 방법은 사도브스키 패치의 모양과 운동을 동시에 설명하는 함수, 즉 유체의 운동법칙인 '오일러 방정식'의 해를 직접 찾아내는 것이다.

수학자들은 방정식 해의 '존재'를 논리적으로 입증하는 것마저도 쉽지 않았다. 두 소용돌이가 대칭축에서 완전히 접촉한 채 끊김 없이 이동해야 하는 특수한 구조 탓이다.

연구진은 변분법을 사용해 이를 새롭게 풀어냈다. 변분법은 특정 조건을 만족하는 여러 가지 가능한 함수 중에서 주어진 값을 최대화 또는 최소화하는 함수를 찾는 방법이다.

연구팀은 먼저 소용돌이 간 간격을 작게 설정하고 소용돌이 회전 세기에 상한을 두는 조건을 걸어둔 뒤, 그 안에서 운동에너지가 가장 큰 값을 갖는 소용돌이 쌍을 찾아냈다.

이때 최대 에너지 소용돌이 쌍의 구조를 단계적으로 분석한 결과, 그 모양이 사도브스키가 제안한 패치의 형태임을 증명했다.

최규동 교수는 "사도브스키 패치의 수학적 존재성을 입증하는 연구를 북경대 황퉁 (Huang-Tong) 교수팀과 경쟁해 왔는데, 황 퉁 교수팀의 연구와 달리 이번 연구에서는 사도브스키 패치의 수학적 존재성뿐만 아니라 역학적 타당성, 즉 물리적 안정성도 검증해 낸 것이 차별점"이라고 설명했다.

연구팀은 이번 성과가 난류 연구, 항공기와 선박의 후류 해석, 후지와라 효과와 같은 대기·해양 소용돌이 간의 상호작용 연구 분야에서 의미를 갖는다고 덧붙였다.

연구 결과는 수학 분야 최상위 저널 중 하나인 편미분방정식연보(Annals of PDE)의 하반기 호인 12월 호에 실렸다.

syk000120@news1.kr